1.3　用数学证明

我：“话说回来，你知道这个判别法怎么证明吗？”

由梨：“知道什么？”

我：“‘各位数相加，是不是3的倍数’是相当知名的判别法，但为什么这样可以判别数是否为3的倍数呢？你知道原因吗？”

由梨：“咦……”

由梨玩弄着发梢，一脸困扰。

我：“‘计算各位数相加是不是3的倍数’是3的倍数判别法，它的数学证明，初中生也办得到。”

由梨：“证明？”

我：“数学证明指利用题目所给的条件，有条理地叙述某个数学主张。”

由梨：“这样啊！”

我：“‘大概是这样’或‘根据经验，应该是这样’无法说服人，必须‘有所根据，保证主张绝对成立’。”

由梨：“哦！有所根据，保证主张绝对成立。数学证明好像很对我的胃口哦！”

我：“你一定会喜欢。”

由梨很喜欢“瞬间了解”的感觉。

由梨：“怎么证明呢？”

我：“我们先把要证明的数的范围缩小到1000以下吧。”

要证明的事项

设为整数，且（=0、1、2……998、999）。

设为的“各位数总和”，则有以下规则成立：

① 若是3的倍数，则是3的倍数；

② 若不是3的倍数，则不是3的倍数。

由梨：“哦。”

我：“你的反应好冷淡，这就是数学证明啊！”

由梨：“我不懂呢，哥哥，为什么一定要弄得这么复杂呢？写一堆和……”

我：“为了精准地叙述问题，必须用和这种符号。如果用‘原本的数’或‘一开始的数’这种文字去叙述，难以辨别你所指的是哪个数。”

由梨：“可以用123这种数来练习吗？”

我：“当然可以，以具体的例子练习与思考相当重要。”

由梨：“先加起来吧，，6是3的倍数。接着，把123除以3……呃……嗯，，刚好整除，所以123是3的倍数。OK，成功！”

我：“嗯，你刚才以具体的数123，来确认‘要证明的事项’的规则 ①。”

由梨：“是啊！”

我：“举例是理解的试金石，以具体的数来确认要证明的事项，代表你已经明白要证明的事项是什么了。”

由梨：“嘿嘿。”

我：“不过……”

由梨：“嗯？”

我：“接下来，你必须更上一层楼，证明更一般化的情形。”

由梨：“一般化的情形？”

我：“没错，刚才你以具体的数123，确认规则 ① 为真，但是我们不可能确认0到999的所有数吧？”

由梨：“会吗？124、567、999的计算都很简单吧？”

我：“好吧，是我说得不够精确。计算0到999的每个数，并不是不可能，但会相当费时费力。”

由梨：“对，好麻烦。”

我：“每个数都验证会很浪费时间，这种情形在数学上用符号来表示。”

由梨：“符号？”

我：“没错，即‘用符号表示一般化’，用符号、、表示，如下所示。”

用符号来表示

设为整数，且。用、、表示，如下：

其中，、、为0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中任意一个数。

由梨：“算式狂热者出现了！”

我：“这种程度还不算狂热。你能用乘法符号‘×’，表示吗？”

由梨：“可以啊，是这样吧？”

我：“没错，‘100倍的加10倍的，再加’。”

由梨：“咦？是什么意思？”

我：“问得好，由梨。在这里，代表百位数，代表十位数，代表个位数。”

由梨：“为什么？”

我：“咦，为什么啊？”