2　芝诺悖论　等比数列的奥妙

芝诺（约公元前490—约公元前425）是古希腊著名的数学家和哲学家，以一系列的“芝诺悖论”而著称。

所谓悖论，就是在同一个推理过程中隐含着两个相互对立的结论，并且这两个结论都能自圆其说。芝诺悖论中较为著名的一个悖论是关于二分法的，说的是一个人永远都无法走到终点：

一个人从A点走到B点，要先走完总路程的，再走完剩下路程的，再走完剩下的，……，如此循环下去，他将永远都不能走到终点。

二分法悖论中，假设这个人的速度恒定，走完总路程所需的时间为单位1。这样，他走完总路程的所需的时间是，他再走完剩下路程的所需的时间为，再走完剩下路程的所需的时间为，……，如此下去，他走到B点的时间为T，有

其中，读作“二分之一的n次幂”，表示n个的乘积：

在芝诺看来，这个人从A点到达B点始终要走过剩下路程的一半，虽然剩下的路程越来越短，穿过剩下的路程的一半所需要的时间间隔也越来越小，但是总是比零要大，只要无限地分割下去，时间之和也可以无限地累加，这样，这个人似乎永远都无法到达B点。显然，这与实际发生的现象并不相符，形成悖论。

如图2-1所示，从A点到B点的时间趋近于1，就是说，当n趋近于无限大，就无限趋近于1。

芝诺悖论涉及时间、空间的连续性以及无限大、无限小等概念。中国的古典名著《庄子·天下》篇中也提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”就是说，一尺长的木杖，每天只截取它的一半，就可以无休止地截取下去，永远都不可能截完。

现代量子物理学的研究证实，时间和空间不可以无限分割，在理论上彻底解决了芝诺悖论。

这些数构成了一个等比数列。所谓的等比数列，除第一项外，数列的每一项都是前一项乘以一个固定倍数，这个倍数称为公比。

假设等比数列{a_n}（n=1,2,3,…）的公比是q（q≠0），和是S，则有以下关系式成立：

a_n=a₁q^n-1　（n=1,2,3,…）

S=a₁+a₁q+…+a₁q^n-1=a₁（1+q+…+q^n-1）

因此，等比数列前n项的求和就转化为如何求1+q+…+q^n-1的和。

记

Q=1+q+…+q^n-1

对该等式的两边分别乘以q，有

qQ=q+q²+…+qⁿ

整理，得

qQ=1+q+q²+…+q^n-1+qⁿ-1

qQ=Q+（qⁿ-1）

等比数列的求和公式：

例题2.1　有牛、马、羊吃了别人家的青苗，青苗的主人要求得到49斤米的赔偿。羊的主人说：“我的羊吃的青苗相当于马吃的一半。”马的主人说：“我的马吃的青苗相当于牛吃的一半。”现在要求按它们吃青苗的数量进行赔偿，问：各赔偿多少斤米？（改编自《九章算术》衰分之二）

按题意，羊、马、牛的主人赔偿青苗主人米的数量构成等比数列，设羊主人赔偿米的数量为1份，则马主人赔偿米的数量为2份，牛主人赔偿米的数量为4份。赔偿的总份数是：1+2+4=7（份）。

这样，羊主人赔偿米：。

马主人赔偿米：。

牛主人赔偿米：。

例题2.2　在两个数2和3之间，第一次写上5，第二次在2和5，5和3之间分别写上7和8，也就是说，每次都在已写上的两个相邻的数之间写上这两个相邻数之和。这样的过程重复了6次，请问：所有数之和是多少？

第一次：2、5、3，增加的数是5。

第二次：2、7、5、8、3，增加的数是7和8，7+8=15。

第三次：2、9、7、12、5、13、8、11、3，增加的数是9、12、13、11，9+12+13+11=45。

第四次：2、11、9、16、7、19、12、17、5、18、13、21、8、19、11、14、3，增加的数是11、16、19、17、18、21、19、14，增加的数之和为135。

不难发现其中的规律：5、15、45、135构成等比数列，公比为3。

可以验证，第五次增加的数之和为405，第六次增加的数之和为1215。

这样，所有的数之和为1820+2+3=1825。

例题2.3　有织女善织布，她每天的织布数都是前一天织布数的2倍，她织了5天，一共织了31尺布，请问：这5天她每天织了多少尺布？（改编自《九章算术》衰分之四）

按题意，织女5天的织布数构成等比数列。

假定第一天的织布数量为1尺，5天的织布数分别是：1、2、4、8、16尺，5天织布总数为：1+2+4+8+16=31（尺）。

这样，织女第一天的织布数是；织女第二天的织布数是；第三天的织布数是4尺；第四天的织布数是8尺；第五天的织布数是16尺。

例题2.4　无限循环小数可以表达成等比数列求和的形式，例如，无限循环小数可以表示为：

请把它表示成分数的形式。

当n趋近于无限大的数时，的值也无限地趋近于零。也就是说，当n趋近于无穷大时，的值也无限地趋近于。即：