2.1.2 控制系统稳定性的概念与稳定判据
稳定是系统能够正常工作的首要条件。系统在实际运行过程中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载和电源的波动、系统参数的变化、环境条件的改变等。系统在扰动作用下都会偏离原平衡状态，产生初始偏差。如果系统不稳定，就会在任何微小扰动作用下偏离原来的平衡状态，并随时间的推移而发散。因此，所谓稳定性，是指系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。关于系统稳定性的定义有多种，上述定义是指系统在平衡状态的稳定性，由俄国学者李雅普诺夫于1892年提出并沿用至今。根据李雅普诺夫稳定性理论，控制系统的稳定性定义如下：
若线性控制系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零（原平衡工作点），则称系统渐近稳定，简称稳定；反之，若在初始扰动影响下，系统的动态过程随时间的推移而发散，则称系统不稳定。
早在1868年，英国物理学家麦克斯韦在研究离心式调速器反馈系统的稳定性问题时，就提出了控制系统稳定的充分必要条件：系统特征根全部具有负实部或全部位于s平面虚轴的左侧。这一理论称为麦克斯韦稳定判据［97］，它教会了人们通过求解特征根来判断控制系统稳定性。
然而，随着控制系统的日益复杂，系统特征方程的阶数明显增加，求解特征根的过程变得枯燥、困难且漫长。因此，在工程实践中，人们迫切希望找到一种不用通过求解特征根，就能快速判断控制系统稳定性的方法，于是就引出了经典控制理论中的几个频域稳定性判据。
1.柯西辐角原理
设控制系统的结构如图2.1所示，其闭环传递函数为
图2.1 控制系统结构图
式中，T（s）为开环传递函数，也称为开环增益。
柯西辐角原理：设s平面上的一个闭合曲线Γ包围F（s）的Z个零点和P个极点，则当s沿着闭合曲线Γ顺时针运动一周时，F（s）的闭合曲线包围原点的圈数R为
式中，R>0和R<0分别表示F（s）的闭合曲线逆时针和顺时针包围原点，R=0表示不包围原点。
根据麦克斯韦稳定判据，图2.1所示控制系统稳定要求F（s）没有右半平面极点或Φ（s）=1+T（s）没有右半平面零点。由此可见，控制系统的稳定性与传递函数的右半平面零点或极点密切相关。为此，s平面上的闭合曲线Γ可选择为图2.2所示曲线，由正虚轴、负虚轴和半径为无穷大的半圆弧组成。这样，如果所研究的传递函数有右半平面的零极点，那么它们必被此曲线所包围，该闭合曲线也称为奈氏路径。需要说明的是，图2.2给出的闭合曲线Γ没有考虑虚轴有零极点的情况，针对这一情况参考文献［98］给出了另一种形式的闭合曲线，这里不再赘述。
基于柯西辐角原理和图2.2所示的闭合曲线，F（s）的右半平面极点数P等于F（s）的右半平面零点数Z与当ω从-∞到+∞变化时F（s）的频率特性曲线逆时针包围原点的圈数R之和；Φ（s）的右半平面零点数Z等于Φ（s）的右半平面极点数P减去当ω从-∞到+∞变化时Φ（s）的频率特性曲线逆时针包围原点的圈数R。
图2.2 s平面上的闭合曲线Γ
2.奈奎斯特稳定判据
奈奎斯特稳定判据：控制系统稳定的充分必要条件是开环传递函数T（s）的奈奎斯特曲线逆时针包围（-1，j0）点的圈数R等于其右半平面极点数P。
需要说明的是，奈奎斯特稳定判据中的圈数R是基于ω从-∞到+∞变化时T（s）的闭合曲线计算的。由于T（s）的奈奎斯特曲线关于实轴对称，因此在实际中可以只绘制ω从0到+∞变化时的T（s），此时得到的曲线定义为T（s）的半闭合曲线ΓFH，于是，圈数R的计算公式如下：
式中，N为ΓFH穿越（-1，j0）点左侧负实轴的等效次数；N+为ΓFH从上向下穿越（正穿越）（-1，j0）点左侧负实轴的次数；N-为ΓFH从下向上穿越（负穿越）（-1，j0）点左侧负实轴的次数。
根据奈奎斯特稳定判据，当控制系统开环稳定，即开环传递函数T（s）没有右半平面极点时，控制系统闭环稳定的充分必要条件可进一步简化为：T（s）的奈奎斯特曲线不包围（-1，j0）点。相反地，若开环传递函数T（s）的右半平面极点数P不等于0，那么控制系统稳定必然要求T（s）的奈奎斯特曲线包围（-1，j0）点，且逆时针包围的圈数R等于P。
3.对数频率稳定判据
奈奎斯特稳定判据是基于开环传递函数T（s）在复平面的半闭合曲线ΓFH来判定控制系统的闭环稳定性，由于奈奎斯特曲线也可以转换为伯德图，因此相对应地也可以从T（s）的对数频率特性上评估系统稳定性，其关键在于确定穿越次数N或N+和N-。
图2.3给出了一个典型传递函数的幅相特性曲线ΓFH与对数频率特性曲线L（ω）和φ（ω），通过对比可得穿越次数的计算方法如下：
图2.3 幅相特性曲线与对数频率特性曲线
1）正穿越一次：ΓFH由上向下穿越（-1，j0）点左侧的负实轴一次，等价于L（ω）>0时，φ（ω）由下向上穿越（2k+1）π线一次，其中，k为整数。
2）负穿越一次：ΓFH由下向上穿越（-1，j0）点左侧的负实轴一次，等价于L（ω）>0时，φ（ω）由上向下穿越（2k+1）π线一次。
3）正穿越半次：ΓFH由上向下止于或起于（-1，j0）点左侧的负实轴，等价于L（ω）>0时，φ（ω）由下向上止于或起于（2k+1）π线。
4）负穿越半次：ΓFH由下向上止于或起于（-1，j0）点左侧的负实轴，等价于L（ω）>0时，φ（ω）由上向下止于或起于（2k+1）π线。