第三章 图像重建模型与算法
第一节 图像重建概述
一、什么是图像重建
本章主要介绍医学图像处理中的一个重要研究课题：医学图像重建。医学图像重建主要研究如何从原始的采集数据中快速精确地重建出医学影像。例如，磁共振成像（magnetic resonance imaging，MRI）是从原始信号空间——k空间（k-space）中采集数据重建影像。计算机体层成像（computed tomography，CT）的原始数据是X射线信号转换后所得的数据。由于图像重建和成像原理息息相关，我们下面以磁共振成像原理为例介绍图像重建。
核磁共振（nuclear magnetic resonance，NMR）的相关研究一直是学界、工业界关注的重点。至今，相关的研究已经获得了6次诺贝尔奖，分别是关于质子核的发现（1943年），分子束磁共振的发现（1944年），宏观物质NMR现象的发现（1952年），傅里叶变换NMR、多维NMR的实现和发展（1992年），多维NMR波谱学测定蛋白质结构（2001年）以及磁共振成像的发明（2003年）。这些研究工作为磁共振成像提供了奠基性的支持，也对现代医学的发展产生了深远的影响。
磁共振的原始数据是带有空间定位编码信息的磁共振原始数字数据的填充框架。磁共振利用了原子中质子的自旋：质子在磁场的作用下磁化、共振和弛豫，从而释放信号。磁共振成像是对收集到的信号进行重建的过程。其中，空间定位是至关重要的一环，是信号重建过程中必须明确的信息。空间定位主要确定接收线圈的感应信号具体来源于人体的哪个像素（空间位置）。解决问题的关键是，磁共振利用线性梯度磁场在不同的空间位置，用不同的共振频率来进行空间编码，形成强大的数据采集能力。梯度磁场可以表示为B（x，y，z）=B0+Gxx+Gyy+Gzz，沿z方向的线性梯度磁场如图3-1-1所示。
图3-1-1 线性梯度磁场和磁共振信号空间定位示意图
磁共振成像研究如何从磁共振的原始信号（即k空间信号）中精确地重建出视觉上具有解剖结构的磁共振图像。填充效果如图3-1-2所示。
通过上述关系式我们可以发现k空间的两个重要特性：①k空间点阵中每一点对应不同的基波，包含有扫描层面的全层信息，重建过程可以理解为对基波进行加权累积（离散情况就是对基波的加权求和）；②k空间中心区域的基波波长较长，外围区域的基波波长较短。因此，中心区域的磁共振（MR）信号主要决定图像的亮度、形状和对比度等低频信息，而周边区域的磁共振信号主要决定图像的细节和边缘等高频信息，效果如图3-1-3所示。
图3-1-2 磁共振信号和磁共振图像对应示意图
（a）k空间信号（幅值图，不包含相位信息）；（b）重建图像。
图3-1-3 k空间信号（幅值）和磁共振图像对应示意图
（a）k空间信号；（b）中心区域的信号；（c）外围区域的信号；（d）原图；（e）仅用中心区域信号的重建结果；（f）仅用外围区域信号的重建结果。
为了叙述方便，我们在下文中把磁共振（MR）的原始信号称为MR信号或k空间数据，而把重建后的影像称为MR图像。