1.3　阿拉伯的贡献

在阿基米德之后的几个世纪里, 伴随着罗马帝国的兴盛, 数学衰落了. 没有多少人能够阅读和理解欧几里得和阿基米德的作品, 更谈不上进一步发展它们了. 为进一步扩展这些工作, 需要有源源不断的师生钻研其中的方法. 几个世纪中, 亚历山大一直是地中海东部最繁荣的学术中心, 但即便在那里, 教师的数量也在逐渐减少.

公元 4 世纪早期, 数学迎来了最后一抹余晖. 古希腊最后一位大几何学家帕普斯 (Pappus of Alexandria, 约 290—350) 的《数学汇编》(Synagoge 或 Collection) 是一部对当时留存的古希腊大几何学家著作的评论和指南作品. 不少原始文本现在已经失传. 我们对它们的了解, 甚至它们本身曾存在过的事实, 完全取决于帕普斯对它们的描述. 其中一部失传作品是阿波罗尼奥斯 (Apollonius of Perga, 约公元前 262—公元前 190) 的《平面轨迹》(Plane Loci). 帕普斯保留了阿波罗尼奥斯的定理陈述, 但没有保留证明. 我们将会看到, 这些古希腊成果的蛛丝马迹为费马、笛卡儿以及其 17 世纪的同时代人提供了直接的灵感.

在古希腊罗马世界里, 当亚历山大博物馆，即缪斯神庙, 及其附属的图书馆和学校因为它们的异教成分被取缔后, 基本上所有的数学工作都在 5 世纪末停止了6. 不过, 数学并没有毁于一旦. 在 8 世纪后, 人们对数学重新产生了兴趣, 并取得了新的重大进展.

6Katz, 2009, p.190.

哈伦·拉希德的传奇故事在经典故事集《一千零一夜》中有着绘声绘色的描述. 拉希德最伟大的成就之一是建立了智慧宫 (Bayt al-Hikma). 它是数学、天文学、医学和化学的研究中心, 其图书馆收集并翻译了来自希腊地中海、波斯和印度的重要科学文献, 并引领了伊斯兰7科学的大繁荣, 这种繁荣一直持续到 13 世纪.

7本书中的“伊斯兰”作广义理解, 泛指伊斯兰国家和伊斯兰文化, 其中一些哲学家是犹太人.

塔比·伊本·库拉 (Thabit ibn Qurra, 836 — 901) 是智慧宫的学者, 他继承并发扬了古希腊和阿拉伯学者的工作. 他的成就之一是重新发现了抛物体的体积公式, 抛物体是由抛物线绕着它的主轴旋转而形成的. 虽然阿基米德已经知道了这个结果, 但种种迹象表明伊本·库拉重新发现了它.

v用现在的话来说, 为了推导这个公式, 首先要认识到抛物线是这样一种曲线: 其上的点到主轴的距离与该点沿着主轴到顶点的横向距离之平方根成正比. 使用现代代数符号, 如果顶点位于 是抛物线上的点到顶点的横向距离, 则抛物线上的点到主轴的距离 可以表示成 (图 1.11). 抛物体在 处的截面面积是 . 为了逼近抛物体在区间 上的体积, 我们将抛物体切成 个厚度为 的圆盘. 在 处, 对于每个 , 圆盘的体积是

图 1.11　抛物体的截面

现将各个圆盘的体积相加8,

8这里用到了结论 , 该结论最早的发现者已经无法考证.

当 的值越来越大时 (圆盘变薄), 要多小就可以有多小, 这保证了实际体积的值既不小于也不大于 .

伊本·海赛姆 (Ibn al-Haytham, 965—1039) 进一步发挥了这种方法的威力. 他演示了如何用这种方法计算一个旋转体的体积, 其中旋转体由抛物线绕其主轴的一条垂线旋转一周而得 (图 1.12). 若抛物线由 表示, 其中 , 则高度为 的圆盘薄片的半径是

图 1.12　海赛姆旋转体的一个竖截面, 图中显示了一个横向薄片的侧面

其体积是

接下来只要将该表达式对 从 1 到 求和即可. 为此我们需要知道 和 的闭公式.

阿基米德在《论螺线》(On Spirals) 中推导出了平方和的表达式: 由

可得

又因为 , 所以

或者, 等价地, 有

阿布·巴克尔·卡拉吉 (Abu Bakr al-Karaji, 953—1029) 发现了立方和公式

他一猜到这个公式, 就很容易观察到, 当 时, 等式右边为 1, 而且当用 代替 时, 等式右边增加了 , 由此说明该公式成立.

当求和的幂次大于 3 时, 问题变得更困难, 因为相应的求和公式不容易猜. 海赛姆的天才之处在于, 他展示了如何使用已知的 次幂的前 项和公式来得到 次幂的前 项和公式. 他求的是具体的和式, 但是他的方法很容易转化成一般性的论述. 为求 次幂的前 项和公式, 首先来看

我们将 乘进去, 再将 分为两项, 变成

则

为简化上式, 关键是观察到, 次幂的前 项和公式是形如 的表达式, 其中 是次数不超过 的多项式. 海赛姆知道这对于 是成立的. 剩下的推导只需表明, 若这对于次数 是成立的, 则对于次数 也成立. 将等式 (1.2) 两边作代换, 可得

即

将等式两边同时乘以 , 可得欲证关系式

其中 是关于 的次数不超过 的多项式9.

9用 来表示 , 可得



设 , 则



这是关于 的次数不超过 的多项式.

现在回到每个圆盘的体积表达式 (1.1) . 将所有体积相加:

因为 是次数不超过 的多项式, 所以当 足够大时, 最后两项要多小就有多小. 于是旋转体的体积既不大于也不小于容纳它的最小圆柱体积的 , 即体积值是 .