1.1.1 空间位姿的定义

对于坐标系A空间中的一个点的位置，可以表示为AP（P_x，P_y，P_z），如图1-4所示。用矩阵形式可以如下表示：

对于空间同一个位置，其可以有不同的姿态（方向）。而对于姿态（方向）的表示，可以在该点处构建一个坐标系B（见图1-5）。新坐标系B的X轴方向使用该轴在原有坐标系A3个方向的投影表示。为了方便表示，选用单位向量。

新坐标系B的Y轴和Z轴同理表示。旋转姿态可由下述矩阵表示，且式（1-2）称为旋转矩阵：

将位置和姿态统称为位姿（位置和姿态）。空间中一个点的位姿可以用矩阵表示（为了矩阵齐次化，构建4×4的矩阵）。式（1-3）称为位姿矩阵或者齐次变换矩阵：

对于空间姿态，也可通过欧拉角表示（旋转顺序为Z、Y、X），即坐标系先绕原有坐标系的Z轴旋转α度，再绕新的坐标系的Y轴旋转β度，最后绕新的坐标系的X轴旋转γ度，如图1-6所示。

注：空间的旋转不满足交换律，不同的旋转顺序会导致不同的结果。

根据式（1-2）所示旋转矩阵的定义，结合图1-6的解释，可以整理得到基于Z-Y-X欧拉角的旋转矩阵如下：

式（1-4）中，cα=cosα，sα=sinα；cβ=cosβ，sβ=sinβ；cγ=cosγ，sγ=sinγ。整理式（1-4）后，可以得到旋转矩阵：

对于式（1-2）所示的旋转矩阵，还可以采用更简单的表达形式。四元数是一种描述此旋转矩阵更为简洁的方式。根据旋转矩阵的各元素，计算四元数。

令，则：

四元数不可直接做加减运算，且四元数的平方和须为1。

ABB工业机器人的pose数据采用空间位置pos（x，y，z）和四元数orient（q₁，q₂，q₃，q₄）来表示一个点的位姿（位置与姿态）。