2.2.3　矩阵与线性映射

现在，我们已经知道，如果将矩阵作为线性映射或者线性变换，以的形式，就能够实现向量的线性映射，输出为另外一个向量。

为了强化理解，再看一个旋转变换的示例：如图2-2-6所示，在二维向量空间中，向量旋转角，变换为向量，注意，这是发生在同一个向量空间的线性变换。

此处的矩阵即为实现旋转变换的矩阵。

至此，我们已经从线性映射的角度理解了矩阵乘以向量的含义了。那么，矩阵乘以矩阵是什么含义呢？可以从以下两个角度理解2.1.5节矩阵乘法——殊途同归。

在2.1.4节，曾经把向量的概念拓展，除了列（行）向量之外，矩阵也能生成一个向量空间，它也是向量。那么，按照前述对线性映射的理解，如果矩阵A乘以矩阵B，即：AB，其含义就应该是用映射A对矩阵（向量）B实施线性映射（或线性变换）。例如：是一个二维向量空间的线性变换，此向量空间中一个矩阵，则：

在二维平面空间中，矩阵的每一列对应平面上的一个点，如图2-2-7中的A、B、C、O，左乘，相当于每个点（对应前述向量）分别变换到图中平行四边形OEFG的对应各点，即原来的正方形经过线性变换成了平行四边形。

例如对点A实施线性变换：

即变换为点E。

由此，我们也就理解了为什么矩阵乘法“不能是对应元素相乘”。

由上述示例推广到更高维度的向量空间，作为原像的矩阵，左乘表示线性映射的矩阵之后，得到了像的矩阵。这就是矩阵乘以矩阵含义，非代数运算中简单地“相乘”。

此外，还可以借助函数来理解矩阵乘法的含义。对于这种类型的函数，我们并不陌生，它是指将输入到函数得到了输出，然后将作为函数的输入得到了。与此类似，如果对于某向量也经历了两次连续的线性映射，那么可以写成：

既然线性映射都可以用矩阵表示，那么上述符号若表示为矩阵，则：

由此，我们也可以认为矩阵和矩阵的乘法，就是连续发生的线性映射。

综上所述，可以总结为一句话：矩阵就是线性映射。

稍等，貌似还有一个小问题。在中，矩阵是线性映射，这相当于矩阵表示了一个过程（映射）。但是，针对单独一个矩阵，应该如何理解？比如矩阵。

在矩阵乘法性质中，有，现在从线性映射的角度理解这个式子：

●　以二维向量空间为例，从几何角度来看，单位矩阵就是以为基的笛卡儿坐标系，如图2-2-8的（a）所示。

●　从线性映射的角度来看，就是将单位矩阵的空间用矩阵实施线性变换，变成了图2-2-8的（b）所示的空间。

综上两点，又因为，那么单独一个矩阵也就代表它所生成的向量空间，即对单位矩阵空间的线性变换。

在前面的各个示例中，我们已经看到，以矩阵来表征线性变换，能够实现对向量空间中的平面、体或者超平面、超体进行旋转变换、对称变换。另外还能够进行缩放变换，比如矩阵，若，则在二维向量空间中，将正方形沿轴放大到；若，则将正方形放大到（如图2-2-9所示）。当然，图2-2-7所示也是一种典型的线性变换示例。