第四节 能量方程应用举例

一、能量方程的应用条件

恒定流的能量方程是水力学中最常用的基本方程之一，能够解决很多工程实际问题。能量方程式（2-6）应用时必须满足以下条件：

（1）水流必须是恒定流。

（2）所取的过水断面1—1和2—2应在均匀流或渐变流区域，以符合断面上各点测压管水头等于常数，且作用力只有重力，但两个断面之间可以是急变流。

（3）所取的过水断面1—1和2—2之间，没有流量的汇入或分出，即流量沿流程不变。

（4）所取的过水断面1—1和2—2之间，除了水头损失以外，没有其他机械能的输入或输出。

在实际工程中，常常会遇到沿流程流量改变或外加机械能的情况。这时水流的运动仍然遵循能量守恒原理，只是能量方程的具体形式有所变化，现简要分析如下。

1.有流量汇入或分出时的能量方程

对图2-11所示的分流情况，设每支的流量分别为Q₂和Q₃。根据能量守恒原理，由1—1断面流入的液体总能量，应等于由2—2及3—3断面流出的液体总能量再加上两支水流的能量损失。所以有

同理，对图2-12所示的汇流情况，能量方程可写成

2.有能量输入或输出时的能量方程

在实际工程中，有时会遇到沿程两个断面间有能量输入或输出的情况，比如抽水站与水电站，此时能量方程的形式应进行修改。

（1）有能量输入时的能量方程。若在管道系统中有一水泵（图2-13）。水泵工作时，通过水泵叶片转动对水流做功，使水流能量增加。设单位重量水体通过水泵后所获得的外加能量为H_p，则能量方程式（2-7）修改为

式中H_p称为水泵的扬程。当不计上、下游水池流速时，有

式中 z——上下游水位差；

h_w1—2——1—1和2—2断面之间全部管道的水头损失，但不包括水泵内部水流的能量损失。

单位时间内动力机械给予水泵的功称为水泵的轴功率N_p。单位时间内通过水泵的水流总重量为γQ，所以水流在单位时间内由水泵获得的总能量为γQH_p，称为水泵的有效功率。由于水流通过水泵时有漏损和水头损失，再加上水泵本身的机械磨损，所以水泵的有效功率小于轴功率。两者的比值称为水泵的效率η_p,故

式中，γ的单位是N/m³，Q的单位是m³/s，H_p的单位是m，N_p的单位是W（即N·m/s）。

（2）有能量输出时的能量方程。若在管道系统中有一水轮机（图2-14）。由于水流驱使水轮机转动，对水力机械做功，使水流能量减少。设单位重量水体给予水轮机的能量为H_t，则总流的能量方程式（2-7） 可修改为

式中 H_t——水轮机的作用水头；

h_w1—2——1—1和2—2断面之间全部管道的水头损失，但不包括水轮机系统内的损失。

由水轮机主轴发出的功率又称为水轮机的出力H_t。单位时间内通过水轮机的水流总重量为γQ，所以单位时间内水流对水轮机作用的总能量为γQH_t。由于水流通过水轮机时同样有漏损和水头损失，再加上水轮机本身的机械磨损，所以水轮机的出力要小于水流给水轮机的功率。两者的比值称为水轮机的效率η_t，故

式（2-20）中单位与式（2-18）相同。

二、能量方程的应用步骤

能量方程在具体应用时，有以下主要步骤：

（1）取同一水平基准面0—0。为了计量不同点的位置高度z，就必须对不同断面取一个统一的水平基准面0—0。基准面的位置高低可以任意选取，但是要尽量使研究的问题简化。

（2）选取两个渐变流断面1—1、2—2。根据研究问题需要在整个水流中选取两个渐变流断面，要尽量将已知量和未知量考虑周到。

(3)选取1、2两个代表点。在1—1、2—2两个渐变流断面上选取代表点1、2。从理论上讲代表点可以是渐变流断面上的任意一点，但是为了计算方便，通常有比较习惯的取法，对于管道有压水流，代表点通常取管中心点，对于明渠无压水流，代表点通常取在水面点。

（4）列方程求解。将有关量代入方程，求解未知量。

为了更方便快捷地应用能量方程解决实际问题，在应用时应还需注意以下几点：

（1）尽量选择已知条件多的过水断面列能量方程，当流速水头与其他各项相比较小时，可以忽略不计。

（2）基准面可任意选取，但在同一方程中，z值必须对应同一基准面。

（3）压强p一般采用相对压强，也可采用绝对压强。但在同一方程中必须采用同一标准。

（4）因为渐变流同一过水断面上各点的测压管水头值相等，具体选择哪一点，以计算简单和方便为宜。

（5）严格地讲，不同过水断面上的动能修正系数α是不相等的，且不等于1.0。在实际计算中，对均匀流和渐变流，一般取α₁=α₂=1.0。

三、能量方程应用举例

水流在运动过程中总是符合能量转化与守恒规律的。由于实际水流复杂多样，以下通过几个应用实例来说明如何利用能量方程分析和解决具体水力学问题。

1.毕托管测流速

毕托管是一种常用在实验室中测量水流点流速的仪器。其测量流速的原理就是水流的能量转化与守恒原理。

当欲测明渠水流中某一点A的流速时，可在A点装一测压管（图2-15），测出A点的测压管高度为；在过A点的同一水平面的下游，取一与A点非常接近的B点，在B点安装一弯成直角的测压管，将它的前端对准来流，且置于B点处，另一端垂直向上。这时，B点处的水流质点沿细管进入，受弯管的阻挡流速变为零，动能全部转化为压能，使得测压管中水面上升至高度。若以通过B点的水平面为基准面，代表了B点处水流的总能量。由于A、B两点很近，忽略两者间能量损失，根据能量方程，有=，即=Δh，所以

式中 Δh——两根测压管的液面差。

实际测量时，是把两根测压管并入同一弯管中，如图2-16所示。考虑液体具有黏滞性，能量转化时有损失。另外，毕托管顶端小孔与侧壁小孔的位置不同，因而测得的不是同一点上的能量。再加上考虑毕托管放入水中时产生的扰动影响，使得测压管液面差Δh可能与实际值有误差，所以要对式（2-21）加以修正，修正的办法是乘以修正系数c，即

式中 c——毕托管校正系数，需通过对毕托管进行专门的率定来确定，一般约为0.98~1.0。

2.文德里流量计测流量

文德里流量计是用于测量管道中流量大小的一种装置，包括收缩段、喉管和扩散段三部分，安装在需要测定流量的管道当中。在收缩段进口前1—1断面和喉管2—2断面上分别装测压管，如图2-17所示。通过测量1—1和2—2断面测压管水头差Δh值，就能计算出管道通过的流量Q，其基本原理就是恒定总流的能量方程。

因为管轴线是水平的，取管轴线所在的水平面0—0为基准面，对渐变流断面1—1和2—2写能量方程（取α₁=α₂=1.0，暂不考虑水头损失），有

上式中=h₁，=h₂，h₁-h₂=Δh，则

根据连续性方程，有

将式（3-41）代入式（3-40），得

则

因此，通过文德里流量计的流量为

令

则

实际上，液体存在水头损失，通过文德里流量计的实际流量要比式（2-26）计算出的流量要小。通常给式（2-26）乘以一个小于1的系数μ来修正，则实际流量为

式中 μ——文德里流量计的流量系数，一般为0.95~0.98。

如果1—1和2—2断面的动水压强很大，这时可在文德里管上直接安装水银压差计，如图2-18所示。由压差计原理可知，Δh=12.6Δh，此时式（2-27）可写成

式中 Δh——水银压差计两支管中水银面的高差。

【例2-3】 如图2-18所示，文德里流量计进口直径d₁=100mm,喉管直径d₂=50mm,若已知文德里流量计的流量系数μ=0.98，水银压差计读数Δh=4.5cm。试计算通过管道的流量Q。

根据已知条件，可计算该文德里流量计的常数K为