2.8.5　误差估计应用举例

间接测量中，有两个问题是经常碰到的：一是给定一组直接测定量的各个测定值及其误差，计算间接测定量的误差；二是预先给定间接测定量所允许的误差，计算各直接测定量所允许的误差。下面分别讨论这两个问题。

1.求间接测定量的误差

求间接测定量误差的问题，可以说成是自变量的近似值及其误差为已知时，求函数误差的问题。这类问题的解决，就是根据已知的函数关系，导出函数的误差公式，然后代入已知数据，求出函数的误差。

【例2-7】　用流体重力称衡法测固体密度的公式为

测得

m=（27.06±0.02）g　　m1=（17.03±0.02）g　　ρ0=（0.9997±0.0003）g/cm3

求ρ及σρ。

解：　将该函数取对数，再求全微分

lnρ=lnm-ln（m-m1）+lnρ0

整理得

所以有

代入已知数据

已知数据代入原函数得

所以

ρ=（2.697±0.006）g/cm3

【例2-8】　间接测量一圆柱的体积V，测得直径和高分别为

D=（0.80±0.01）cm H=（1.02±0.01）cm

求间接测定量体积V及按误差方和根合成公式计算的误差σv、按算术合成公式计算的ΔV。

解：　圆柱体体积的计算公式为

取对数再求全微分

所以

代入已知数据，得

而用误差算术合成公式计算，得

上面这个例子中的σv和ΔV都是表示间接测定量的误差的。由计算的结果可以看出，由于采用误差合成公式的不同，得到误差的结果也不同。可以证明，当直接测定量仅有一个时，用误差的方和根合成和算术合成公式计算，所得到的间接测定量误差的大小是相同的。当直接测定量是两个或两个以上时，算术合成得到的误差偏大，而方和根合成得到的误差则小一些，特别是当各项分误差对总误差的贡献近于相等时，或直接测定量较多时，更是如此。

事实上，在直接测定量较多时，各项分误差相互之间能有一定的抵偿作用。所以，用误差的方和根合成对总误差所做的估计以较大的可信度近于实际情况。而用误差的算术合成对总误差所做的估计比较保守，特别是在直接测定量很多的情况下，对总误差的估计偏离实际情况更远。

这里需强调指出，若直接测定量的误差主要是系统误差，其正负号又不能确定，或在要求不太严格的情况下，可用误差的算术合成来估计总误差。若直接测定量的误差主要是随机误差，特别是在直接测定量较多时，最好采用误差方和根合成来估计总误差。

2.求直接测定量所允许的测定误差

求直接测定量所允许的测定误差的问题，往往可以回答这样一个问题，即按一定的研究方案进行实验时，怎样选取仪器的精密度。当直接测定量不只一个时，这类问题的数值解是不定的。那么，应该怎样处理这类问题呢？实验中遇到这类问题时，常用等效法。这一方法假定各个直接测定量对间接测定量的误差贡献均相等，即假定各分误差项相等。根据这一假设，可以用代替式（2-28）右边各分误差项，得

所以

由各分误差相等的假设，并结合式（2-31），得

或

当给定间接测定量所允许的误差σy时，可根据已知的函数关系和直接测定量的近似值，按式（2-33）或用等效法推导计算出各直接测定量所允许的误差。

【例2-9】　在用图解积分法作吸收塔计算时，三角形的面积S要用两边及其所夹的角来计算。这些量的近似值分别为：

a=12cm　b=10cm　A=38°

若要求间接测定量三角形的面积准确到0.5（cm2），试计算各直接测定量所允许的误差。

解：　依题意

对题中函数取对数再求全微分，得

所以

采用等效法，令

代入已知数据得

计算结果表明，当边长a、b及其夹角A的测定误差分别不大于0.094cm，0.078cm和0.35°时，可保证所得面积S的误差不超过0.5cm2。

应当指出的是，在具体场合实际考虑直接测定量所允许的误差时，还需要灵活掌握。因为按等效法计算所得到的各直接测定量所允许的误差，只是一个参考值，在实际测定中，对其中各测定量的实际误差还可以进行调整。对于技术上困难大，经济上耗费大的测定项目，其测定精度的要求可降低一些，即允许其误差大一些。而对于容易测定的量，其测定精度可以适当高一些，即要求其误差小一些。经过这样的调整之后，只要满足间接测定量的误差不大于所给定的误差就可以了。

【例2-10】　对于例2-9的问题，同测量长度相比，角度不容易测量，故允许其误差再大一些。如果实际测量中，选用米尺测量长度，其测量误差可降低到0.01cm。试求此时角度测量所允许的误差。

解：　由例2-9知

所以

通过计算可知，如果选用可准确到0.01cm的米尺测量边长，那么测量角度的误差可允许提高到0.6°，这样完全可以满足面积S的误差不超过0.5cm2的要求。

注意：在上面的例子中，若选用精密度更高的测量仪器，也不会使测量角度的允许误差再增大。或者反过来说，在测量角度的误差为±0.6°时，再选用精密度更高的测量仪器，也不会使间接测定量面积S的误差减小。

通过上面的分析，可以得出一个结论，即只有减小对总误差贡献较大的直接测定量的误差，才能使总误差减小。根据这个结论，在实际工作中，可以合理选用实验仪器，既保证间接测定量的误差不大于允许的误差，又不要造成人力、物力、财力的浪费。