5.2　课后习题详解

一、习题

1．在简单回归模型（5.16）中，我们在前4个高斯-马尔可夫假定下证明了形如式（5.17）的估计量是斜率β₁的一致估计量。给定这样一个估计量，定义β₀的一个估计量为

证明。

证明：简单回归模型为：y＝β₀＋β₁x＋u，则其期望值是：E（y）＝β₀＋β₁E（x）＋E（u） ，或μ_y＝β₀＋β₁μ_x。因为E（u）＝0，则μ_y＝E（y），μ_x＝E（x₁）。因此β₀＝μ_y－β₁μ_x，则，现在，可得：

根据大数定律可知：，，因此。

2．数据集SMOKE.RAW包含美国成人个人随机样本在抽烟行为和其他变量方面的信息。变量cigs为（平均）每天抽烟的数量。你是否认为在美国这个总体中，cigs具有正态分布？试做解释。

答：在美国这个总体中，cigs不具有正态分布。大多数人不抽烟，因此对一半以上的美国人而言，cigs＝0。正态分布随机变量的概率大于零并没有特殊的意义。另外，cigs的分布是左偏的，而正态分布随机变量是对称的。

3．假设模型pctstck＝β₀＋β₁funds＋β₂risktol＋u，满足前4个高斯-马尔可夫假定，其中，pctstck表示工人养老金投资于股票市场的百分比，funds表示工人可以选择的共同基金的个数，而risktol表示对风险承受能力的某种度量（risktol越大，则表明这个人对风险的承受能力越强）。如果funds和risktol正相关，pctstck对funds简单回归的斜率系数有怎样的不一致性？

答：对风险的承受能力越强，就更愿意在资本市场上投资，因此β₂＞0。假定可供选择的共同基金的个数与个人承受风险的能力是正相关的，使用公式5.5，δ₁＞0：plim（β₁）＝β₁＋β₂δ₁＞β₁，因此有一个正的不一致性（渐进偏误）。这个结论是有意义的，如果省略个人对风险的承受能力这一变量，而它与可选择的共同基金个数相关，因此估计出来的funds对pctstck的影响实际上包括了risktol对pctstck的影响。

4．在满足假定MLR.1～MLR.4的简单回归中，我们证明了斜率估计量是β₁的一致估计。

利用证明[你在使用β₀＝E（y）－β₁E（X₁）的同时，还需要使用的一致性和大数定律。

证明：简单模型为：y＝β₀＋β₁x＋u，期望值是E（y）＝β₀＋β₁E（x）＋E（u），或μ_y＝β₀＋β₁μ_x。因为E（u）＝0，则μ_y＝E（y），μ_x＝E（x）。因此β₀＝μ_y－β₁μ_x，则，根据大数定律

又

则对等式两边同时取概率极限得：

二、计算机习题

1．本题使用WAGE1.RAW中的数据。

（i）估计方程

wage＝β₀＋β₁educ＋β₂exper＋β₃tenure＋u

保留残差并画出其直方图。

（ii）以log（wage）作为因变量重做第（i）部分。

（iii）你认为是水平值—水平值模型还是对数—水平值模型更接近于满足假定MLR.6？

答：（i）估计模型为：

526个残差，i＝1，2，…，526的直方图如图5-1所示，根据STATA手册中的公式建议，对直方图使用了27个排序格，正态分布是适合图中描绘内容的数据分布。

图5-1

（ii）log（wage）作为因变量的估计方程为：

从方程中推出的残差直方图，以及最合适的正态分布重叠图如图5-2所示：

图5-2

（iii）log（wage）回归的残差看起来更符合正态分布，第（ii）部分的直方图的分布密度比第（i）部分直方图更好。wage残差直方图是显著左偏的。在wage的回归中，存在一些很大的残差（甚至等于15），这是基于残差平均值等于0的标准估计误差（）。在对数—水平值模型中残差不等于0并没有造成太大的问题，因此，对数—水平值模型更接近于满足假定MLR.6。

2．本题使用GPA2.RAW中的数据。

（i）使用所有4137个观测，估计方程colgpa＝β₀＋β₁hsperc＋β₂sat＋u并以标准形式报告结论。

（ii）使用前2070个观测再重新估计第（i）部分中的方程。

（iii）求出第（i）部分与第（ii）部分所得到的标准误的比率。并将这个比率与式（5.10）中的结论相比较。

答：（i）4137个观测值的回归模型为：

（ii）使用开始的2070个观测值的回归模型为：

（iii）使用2070个观测值的标准误与使用4137个观测值的比率为1.31。从5.10可知，，大于真实标准误的比率。

3．在第4章的方程（4.42）中，计算检验motheduc和fatheduc是否联合显著的LM统计量。在求约束模型的残差时一定要注意，估计约束模型所用的观测，都包含于无约束模型所有变量可以使用的数据中。（参见例4.9。）

答：首先使用motheduc和fatheduc这两个变量无损坏的1191个观测值关于colgpa对cigs、parity和fatheduc回归。此时得到残差，再对cigs_i、parity_i、faminc_i、motheduc_i和fatheduc_i，也可以仅对motheduc_i和fatheduc_i无损坏的1191个观测值进行回归。回归的判定系数为0.0024。在1191个观测值的基础上，卡方分布统计量为1.191×0.0024＝2.86。p值为0.239，距离F检验的p值0.242非常近。

4．有几个统计量常被用于侦查潜在总体分布的非正态性。这里，我们将研究一个度量了分布偏斜程度的统计量。记得任何一个正态随机变量都是围绕着其均值对称分布的。因此，如果我们把一个对称分布的随机变量标准化，比如z＝（y－μ_y）/σ_y，其中，μ_y＝E（y），σ_y＝sd（y），那么，Z的均值就是0，方差为1，而且E（Z³）＝0。给定一个数据样本｛y_i：i＝1，…，n｝，假定样本均值记为，样本标准差记为，那么，利用

我们就可以把样本中的y_i加以标准化。（我们忽视它们是基于样本的估计值这一事实。）度量偏斜程度的一个样本统计量就是，或者将其中的自由度n调整为（n－1）。如果Y在总体中服从正态分布，那么，对于样本中标准化之后的数据而言，这个偏斜指标就不应该显著异于0。

（i）首先使用数据集40IKSUBS.RAW中具有fsize＝1的那些观测。求出inc的偏斜指标。同样求出log（inc）的偏斜程度。哪个变量的偏斜程度更大，并因而看上去更不像正态分布？

（ii）然后使用BWGHT2.RAW。求出bwght和log（bwght）的偏斜指标。你得到什么结论？

（iii）评价如下命题：“对数变换总是使得一个恒为正的变量看上去更像正态分布。”

（iv）如果我们对回归背景下的正态性假定感兴趣，我们应该评价y和log（y）的无条件分布吗？请给出你的解释。

答：（i）inc的偏度为1.86。当使用log（inc）时，偏度为0.360，可知对数形式时偏度较小，这意味着其分布更接近正态分布。实际上，income的偏态分布是有据可查的。

（ii）bwght的偏度是－0.60，当采用log（bwght）时，偏度为－2.95。在这个案例中，使用自然对数之后偏度更大。

（iii）第（ii）问的案例已经明确地表明了这种状态不一定总是正确的。采用自然对数变换可能引入偏态。从实证问题角度而言，对许多经济变量尤其是以美元计的变量，采用对数形式通常都会有助于减少或消除偏态。但是它并不必然一定会消除。

（iv）为了进行回归分析，应该评价条件分布，也就是说，y和log（y）在解释变量x₁，…，x_k条件下的分布。如果均值分布如假定MLR.1和MLR.3提到一样是线性的，这就相当于研究总体误差u。实际上，这个问题中偏态的衡量常常适用于OLS回归中的残差分析。