2.1　正弦交流电的基本概念

我们把方向不随时间变化的电压、电流统称为直流电，如图2-1（a）、（b）所示；把方向、大小都随时间做周期性变化的电压、电流称为交流电，如图2-1（c）、（d）所示。

方向和大小按正弦规律变化的电压、电流称为正弦交流电。通过正弦交流电的电路称为正弦交流电路。正弦交流电路中的电压和电流等物理量统称为正弦量。正弦交流电在任意时刻的数值称为瞬时值，用小写字母表示，如i、u及e分别表示电流、电压及电动势的瞬时值。瞬时值有时为正、有时为负、有时为零。

2.1.1　正弦量的三要素

如图2-2所示电路，按给定的参考方向通过正弦电流i，i的波形如图2-3所示，它的变化规律可以用正弦函数表示，也可以用余弦函数表示。本书中均采用正弦函数表示正弦电压和电流。

图2-3中正弦电流i在选定参考方向下的瞬时值表达式为

i=Imsin（ωt+φ）　　（2-1）

在式（2-1）中，幅值Im、角频率ω和初相位φ称为正弦量的三要素。

（1）频率与周期

在式（2-1）中，ω为正弦电流i的角频率，它的定义是单位时间内正弦量变化的弧度数，其单位是弧度/秒（rad/s）。

正弦量每变化一次所需要的时间称为周期T，周期越长，表明交流电变化得越慢，其单位为秒（s），如图2-3所示。正弦量每秒内变化的次数称为频率f，频率越高，表明交流电变化得越快，它的单位是赫兹（Hz）。显然，频率和周期互为倒数，即

角频率ω与频率f、周期T之间的关系为

周期或频率是反映正弦交流电变化快慢的参数。

我国和许多欧洲国家都采用50Hz作为工业交流电的标准频率，习惯上称为工频，也有的国家（如美国、日本）采用60Hz。

（2）初相位与相位差

在式（2-1）中，ωt+φ称为正弦量的相位角或相位。相位是随时间t变化的，它反映出正弦量变化的进程。相位不同，对应的瞬时值也不同。

当t=0时，ωt+φ=φ，把此时的相位角φ称为初相位角或初相位（简称初相）。初相位是描述正弦交流电初始状态的参数。初相位的大小与计时起点的选择有关，它表明正弦量从什么状态开始计时。习惯上初相角不取大于π的正角，当初相角大于π时，取与之对应的小于π的负角。

相位差是用来描述电路中两个同频率正弦量之间相位关系的量。如图2-4所示，图中u和i的波形可用下式表示：

u=Umsin（ωt+φu）

i=Imsin（ωt+φi）

则电压u和电流i的相位差为

φ=（ωt+φu）-（ωt+φi）=φu-φi　　（2-4）

可见，相位差即为初相位之差，它表明了两个同频率正弦量之间，在时间上超前或滞后的关系。

①超前　若φ=φ1-φ2>0，则i1超前i2角φ，即i1到达零值、正的最大值、负的最大值时，均超前i2角φ，如图2-5（a）所示。

②滞后　若φ=φ1-φ2<0，则i1滞后i2角φ，如图2-5（b）所示。通常，相位差用绝对值不大于180°的角来描述。

超前与滞后是相对的，i1超前i2，也可以说是i2滞后i1。

③同相　若φ=2nπ（n=0，1，2，…），则称i1和i2相同，即i1和i2同时达到最大、最小，同时为零，如图2-5（c）所示。

④反相　若φ=nπ（n为奇数），则称i1和i2反相，即i1为正时，i2为负；i1为负时，i2为正，如图2-5（d）所示。

⑤正交　若（n为奇数），则称i1和i2正交，即一个正弦量为零时，另一个正弦量为正的幅值（或负的幅值），如图2-5（e）所示。

（3）幅值与有效值

在式（2-1）中，Im是正弦量的幅值（也称振幅、最大值），反映了正弦量变化过程中所能达到的最大幅度，用带下标m的大写字母表示，如Im、Um及Em分别表示电流、电压及电动势的幅值。工程上通常用有效值计量正弦量的大小，正弦量的有效值是指热效应和它相当的直流值。

周期电流i和直流电流I在相同的时间内分别流过同一电阻R，如果产生的热效应相当，那么这个直流电流I被称为周期电流i的有效值。

如电阻R在一个周期T内所产生的热量为，通过T时间的直流电流所产生的热量为Q直流=I2RT，若Q交流=Q直流，则

式中，I为周期电流i的有效值。

对于正弦电流i=Imsin（ωt+φ），有

同理，对于正弦电压和正弦电动势，其有效值与最大值关系为

如无特殊说明，工程上所说正弦量的大小都是指有效值。如通常所说的照明电路电压220V，三相交流电动机的电压380V，以及各种电气设备的额定电压、额定电流和交流电工测量仪表的读数等均指有效值。

【例2-1】　某正弦交流电压，最大值和有效值分别为多少？

【例2-2】　某正弦交流电压u=311sin314tV，最大值、频率、角频率和周期各为多少？

解：最大值为　　Um=311V

角频率为　　ω=314rad/s

【例2-3】　某正弦电压在t=0时为，初相角为30°，求其电压的有效值。

解：电压的瞬时值表达式为

u=Umsin（ωt+30°）

t=0时

u（0）=Umsin30°

2.1.2　正弦量的相量表示法

如前所述，一个正弦量由幅值、角频率和初相位三个要素确定，而正弦量的这些特征，可以用正弦波和三角函数表示出来。除此之外，还可以用相量表示，复数是相量的基础。

（1）复数

如图2-6所示，一复数A，a1为其实部，a2为其虚部，a为其长度，则复数A可用四种形式来表示：

①代数式

A=a1+ja2　　（2-8）

为虚单位。

②三角函数式　令复数A的模|A|=a，φ角是复数A的辐角，有

A=｜A｜（cosφ+jsinφ）=a（cosφ+jsinφ）　　（2-9）

式中，，，

③指数式　根据欧拉公式ejφ=cosφ+jsinφ

A=aejφ　　（2-10）

④极坐标式

极坐标式是复数指数式的简写，这四种复数的表示形式，可以相互转换。

复数的指数形式（或极坐标形式）与复数的三角函数式之间可以通过欧拉公式进行转换，指数形式（或极坐标形式）要变换成代数式可以通过欧拉公式进行转换；代数式变换成指数形式（或极坐标形式）可以通过式（2-9）进行转换。

（2）正弦量的相量表示

用复数来表示正弦量的方法称为正弦量的相量表示法，即用复数的模来表示正弦量的幅值（最大值或有效值），用复数的辐角来表示正弦量的初相位。只有同频率的正弦量用相量进行分析计算才有意义，它使得正弦交流电路的分析和计算变得更为简单。

在线性正弦交流电路中，各部分的电流和电压都是同频率的正弦量。因为频率不变，所以可以用相量来表示正弦量。

正弦量的相量形式是用大写字母上面加小圆点表示。例如，“”“”“”等。

同理，可自行写出和相量。

相量、、称为有效值相量，、、称为最大值相量或幅值相量。

相量在复平面上的几何图形叫做相量图，如图2-7所示。

同频率的正弦量，由于它们之间相位的相对位置不变，即相位差不变，因此可以将它们的相量画在同一个坐标上。不同频率的正弦量，用相量表示时，不能画在同一相量图上。

（3）相量运算

相量的运算规则符合复数运算中的交换律、结合律和分配律等。

①加、减运算　加、减运算用复数的代数式进行。运算时，只需把实部与实部相加、减，虚部与虚部相加、减即可。

例如，A1=a1+jb1，A2=a2+jb2，则

A1±A2=（a1+jb1）±（a2+jb2）=（a1±a2）+j（b1±b2）　　（2-13）

如果复数是其他形式，应先把其转换成代数式，再进行加、减运算。

②乘、除运算　乘、除运算用复数的指数形式（或极坐标形式）进行较为方便。两个复数的乘积（商）的模等于这两个复数的模的乘积（商）；两个复数的乘积（商）的幅角等于这两个复数的辐角的和（差）。

【例2-4】　已知频率均为50Hz的电压相量：①；②；。试写出它们所代表的正弦电压瞬时值表达式。

解：角频率为ω=2πf=2π×50=314rad/s。各正弦电压的瞬时值表达式为

③U3=10V　φ3=-90°

【例2-5】　已知：i1=70.7sin（314t-30°）A，i2=60sin（314t+60°）A。试求：i1+i2=i。

解：首先用相量表示i1、i2

再通过写出对应的正弦量