第8例 平面问题的求解实例——厚壁圆筒问题

本例提示

本例介绍了利用ANSYS进行静力学分析的方法、步骤和过程，并对将空间问题简化为平面问题的条件、方法进行了简单的介绍。

8.1 概述

8.1.1 平面问题

所谓平面问题是指弹性力学的平面应力问题和平面应变问题。

当结构为均匀薄板，作用在板上的所有面力和体力的方向均平行于板面，而且不沿厚度方向发生变化时，可以近似认为只有平行于板面的三个应力分量σx、σy、τxy不为零，所以这种问题就被称为平面应力问题。

设有无限长的柱状体，在柱状体上作用的面力和体力的方向与横截面平行，而且不沿长度而发生变化，此时，可以近似认为只有平行于横截面的三个应变分量 εx、εy、γxy不为零，所以这种问题就被称为平面应变问题。

8.1.2 对称性

当结构具有对称面而载荷也对称于该对称面时，则结构的位移、应力和应变也对称于该对称面。于是，可以利用该对称性，取结构的一半进行分析，并且约束掉对称面上垂直方向的位移，从而减少了计算工作量。

8.2 问题描述及解析解

图8-1所示为一厚壁圆筒，其内半径 r1=50mm，外半径r2=100mm，作用在内孔上的压力p=10MPa，无轴向压力，轴向长度很大可视为无穷。要求计算厚壁圆筒的径向应力σr 和切向应力σt沿半径r方向的分布。

图8-1 厚壁圆筒

根据材料力学的知识，σr、σt沿r方向的分布的解析解为

该问题符合平面应变问题的条件，故可以简化为平面应变问题进行分析。另外，根据对称性，可取圆筒的四分之一并施加垂直于对称面的约束进行分析。

8.3 分析步骤

8.3.1 过滤界面

拾取菜单Main Menu→Preferences，弹出如图8-2所示的对话框，选中“Structural”项，单击“OK”按钮。

图8-2 过滤界面对话框

8.3.2 创建单元类型

拾取菜单Main Menu→Preprocessor→Element Type→Add/Edit/Delete，弹出如图8-3所示的对话框，单击“Add...”按钮，弹出如图8-4所示的对话框，在左侧列表中选“Structural Solid”，在右侧列表中选“8node 183”，单击“OK”按钮，返回到如图8-3所示的对话框，单击“Options”按钮，弹出如图8-5所示的对话框，选择“K3”为“Plane strain”（平面应变），单击“OK”按钮，最后单击如图8-3所示对话框中的“Close”按钮。

图8-3 单元类型对话框

图8-4 单元类型库对话框

图8-5 单元选项对话框

8.3.3 定义材料模型

拾取菜单Main Menu→Preprocessor→Material Props→Material Models，弹出如图8-6所示的对话框，在右侧列表中依次拾取“Structural”、“Linear”、“Elastic”、“Isotropic”，弹出如图8-7所示的对话框，在“EX”文本框中输入2e11（弹性模量），在“PRXY”文本框中输入0.3（泊松比），单击“OK”按钮，然后关闭如图8-6所示的对话框。

图8-6 材料模型对话框

图8-7 材料特性对话框

注意：从解析公式中可以看出，径向应力σr和切向应力σt与弹性模量、泊松比无关，但是这两个参数在有限元分析中却是必须的。

8.3.4 创建实体模型

拾取菜单Main Menu→Preprocessor→Modeling→Create→Areas→Circle→By Dimensions，弹出如图8-8所示的对话框，在“RAD1”、“RAD2”、“THETA2”文本框中分别输入0.1、0.05和90，单击“OK”按钮。

图8-8 创建面对话框

8.3.5 划分单元

拾取菜单Main Menu→Preprocessor→Meshing→MeshTool，弹出如图8-9所示的对话框，本步骤所有操作全部在此对话框下进行。单击“Size Controls”区域中“Lines”后面的“Set”按钮，弹出拾取窗口，拾取面的任一直线边，单击“OK”按钮，弹出如图8-10所示的对话框，在“NDIV”文本框中输入6，单击“Apply”按钮，再次弹出拾取窗口，拾取面的任一圆弧边，单击“OK”按钮，再次弹出如图8-10所示的对话框，在“NDIV”文本框中输入8，单击“OK”按钮。在如图8-9所示的“Mesh”区域，选择单元形状为“Quad”（四边形），选择划分单元的方法为“Mapped”（映射），单击“Mesh”按钮，弹出拾取窗口，拾取面，单击“OK”按钮，最后单击图8-9中的“Close”按钮。

图8-9 划分单元工具对话框

图8-10 单元尺寸对话框

8.3.6 施加约束

拾取菜单Main Menu→Solution→Define Loads→Apply→Structural→Displacement→On Lines，弹出拾取窗口，拾取面的水平直线边，单击“OK”按钮，弹出如图8-11所示的对话框，在列表中选择“UY”，单击“Apply”按钮，再次弹出拾取窗口，拾取面的垂直直线边，单击“OK”按钮，再在图8-11所示对话框的列表中选择“UX”，单击“OK”按钮。

图8-11 施加约束对话框

8.3.7 施加载荷

拾取菜单Main Menu→Solution→Define Loads→Apply→Structural→Pressure→On Lines，弹出拾取窗口，拾取面的内侧圆弧边（较短的一条圆弧），单击“OK”按钮，弹出如图8-12所示的对话框，在“VALUE”文本框中输入10e6，单击“OK”按钮。

图8-12 施加压力载荷对话框

8.3.8 求解

拾取菜单Main Menu→Solution→Solve→Current LS，单击“Solve Current Load Step”对话框中的“OK”按钮。当出现“Solution is done！”提示时，求解结束，即可查看结果。

8.3.9 显示节点

拾取菜单Utility Menu→Plot→Nodes。

8.3.10 定义路径

拾取菜单Main Menu→General Postproc→Path Operations→Define Path→By Location，弹出如图8-13所示的对话框，在“Name”文本框中输入p1，在“nPts”文本框中输入2，单击“OK”按钮。接着弹出如图8-14所示的对话框，在“NPT”文本框中输入1，在“X”文本框中输入0.05，单击“OK”按钮。再次弹出如图8-14所示的对话框，在“NPT”文本框中输入2，在“X”文本框中输入0.1，单击“OK”按钮。最后单击如图8-14所示对话框中的“Cancel”按钮，关闭对话框。

图8-13 定义路径对话框

图8-14 定义路径点对话框

8.3.11 将数据映射到路径上

拾取菜单Main Menu→General Postproc→Path Operations→Map onto Path，弹出如图8-15所示的对话框，在“Lab”文本框中输入SR，在“Item, Comp”两个列表中分别选“Stress”、“X-direction SX”，单击“Apply”按钮；再在“Lab”文本框中输入ST，在“Item, Comp”两个列表中分别选“Stress”、“Y-direction SY”，单击“OK”按钮。

图8-15 映射数据对话框

注意：该路径上各节点X、Y方向上的应力即为径向应力σr和切向应力σt。

8.3.12 作路径图

拾取菜单Main Menu→General Postproc→Path Operations→Plot Path Item→On Graph，弹出如图8-16所示的对话框，在列表中选“SR”、“ST”，单击“OK”按钮。

图8-16 路径图对话框

图8-17所示的路径图即是径向应力σr和切向应力σt关于半径的分布曲线。图中横轴为径向尺寸（单位：m），纵轴为应力（单位：Pa），横轴的零点对应着厚壁圆筒的内径，横坐标为5×10-2m的点对应着厚壁圆筒的外径。读者可以用式（8-1）计算出问题的解析解，来检验有限元分析结果的精确程度。

图8-17 径向应力σr和切向应力σt随半径的分布情况

另外，读者可能已注意到：在以上分析过程的输入数据中，长度单位采用的是m，力的单位采用的是N；在分析结果中，应力的单位是Pa（N/m2）。也就是说，如果输入数据的单位是国际制单位，则输出数据的单位也是国际制单位；同样，如果输入数据的单位是英制单位，则输出数据的单位也是英制单位。这就是ANSYS对单位问题的处理方法，即对输入数据的单位不做要求，输出单位是输入单位的导出单位。

8.4 命令流

      /CLEAR                           ！清除数据库，新建分析
      /FILNAME,EXAMPLE8                ！定义任务名为“EXAMPLE8”
      /PREP7                           ！进入预处理器
      ET,1,PLANE183,,,2                ！选择单元类型，设置单元选项
      MP,EX,1,2E11                     ！定义材料模型，弹性模量EX=2E11，泊松比PRXY=0.3
      MP, PRXY, 1, 0.3
      PCIRC,0.1,0.05,0,90              ！创建圆形面
      LESIZE,4,,,6                     ！指定线划分单元段数
      LESIZE, 3,,,8
      MSHAPE,0                         ！指定单元形状为四边形
      MSHKEY,1                         ！指定映射网格
      AMESH,1                          ！对面划分单元
      FINISH                           ！退出预处理器
      /SOLU                            ！进入求解器
      DL,4,,UY                         ！在线上施加位移约束
      DL, 2,,UX
      SFL,3,PRES,10E6                  ！在线上施加压力载荷
      SOLVE                            ！求解
      SAVE                             ！保存数据库
      FINISH                           ！退出求解器
      /POST1                           ！进入普通后处理器
      PATH,P1,2                        ！定义路径
      PPATH, 1, 30
      PPATH, 2, 1
      PDEF,SR,S,X                      ！向路径映射数据
      PDEF, ST, S, Y
      PLPATH,SR,ST                     ！显示路径图
      FINISH                           ！退出普通后处理器

练习题

8-1一均匀薄板的尺寸和所承受的载荷如图8-18所示，P=3000N，所使用材料为45钢。

求：

（1）除集中力作用点附近外，薄板所承受的最大拉应力；

（2）作a-a截面的路径图，显示其拉应力。

（提示：可以简化为平面应力问题）

图8-18 题8-1示意图

8-2图8-19所示为油缸结构简图及工作情况，活塞作用在油缸内液压油上力的总和为20000 kN，试求油缸（不包括活塞）的强度和刚度情况，设油缸材料为40Cr钢。

图8-19 题8-2示意图

（提示：可以简化为轴对称问题）